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  • Foto do escritorRafaela Natenzon

O Teorema de Tales

Um dos mais essenciais teoremas da geometria e da proporcionalidade é o Teorema de Tales. Seu criador foi o filósofo e matemático grego Tales de Mileto, que tentava deduzir a altura de uma pirâmide, e como não haviam métodos de medição precisos na época, utilizou a sombra do monumento.


O teorema estabelece que: “Se duas retas são transversais a um conjunto de três ou mais retas paralelas, então a razão entre os comprimentos de dois segmentos quaisquer determinados sobre uma delas é igual à razão entre os comprimentos dos segmentos correspondentes determinados sobre a outra.”


Isso pode ser explicado pela imagem abaixo, onde existem duas transversais a e b, e três retas paralelas r, s e t.



Com isso, é demonstrado que a razão entre qualquer segmento em uma das transversais e o segmento correspondente na outra transversal será igual.



Pode-se provar que a razão sempre será igual da seguinte maneira:


Considere:



De acordo com o Teorema de Tales, mencionado acima, é possível provar que AP/PB = AQ/QC


A área de ∆APQ = 1/2 × AP × QN (área de um triângulo = 1/2× Base × Altura)


Da mesma forma,

área de ∆PBQ= 1/2 × PB × QN

área de ∆APQ = 1/2 × AQ × PM


Além disso, área de ∆QCP = 1/2 × QC × PM - (I)


Agora, se encontrarmos a proporção da área dos triângulos ∆APQ e ∆PBQ, temos


Da mesma forma,

(II)


De acordo com a propriedade que estabelece que a área de um triângulo é definida pela soma de sua base e sua altura dividida por 2, os triângulos desenhados entre as mesmas linhas paralelas e na mesma base têm áreas iguais.



área de ∆ABC = área de ∆ABT


Portanto, podemos dizer que ∆PBQ e QCP têm a mesma área.

área de ∆PBQ = área de ∆QCP - (III)


Portanto, pelas equações (I), (II) e (III) pode-se concluir que:

AP/PB = AQ/QC


EXEMPLO: DE e BC são paralelos, determine o valor das medidas AD e AE.



Pela definição do teorema:


Resolvendo essa expressão:


Com isso concluímos que as medidas são AD=8 e AE=12.

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