O Triângulo de Pascal é uma das ferramentas matemáticas mais intrigantes que já foi estudada. À primeira vista, ele parece algo simples, mas basta olhar um pouco mais a fundo para perceber que ele guarda diversos padrões, propriedades e aplicações incríveis.
Mas afinal, que triângulo é esse?
O Triângulo de Pascal é um triângulo numérico infinito, no qual números naturais são organizados em linhas, formando um triângulo isósceles ou triângulo retângulo, conforme a figura a seguir:

Como é formado?
Para facilitar a explicação, vamos construir um Triângulo de Pascal com seis linhas como exemplo.
Primeiramente, colocamos o número 1 no topo do triângulo. Depois, também colocamos o número 1 no início e no final de cada linha. Ou seja, em cada linha, as extremidades (início e final) recebem o número 1, como ilustrado abaixo:

Os demais números que ficam no meio do triângulo (números centrais) são obtidos conforme a soma dos dois números diretamente acima deles, ou seja, o número à esquerda e o número à direita da linha anterior.
O número central da linha número dois é 1+1 = 2
O primeiro número central da linha número três é 1+2 = 3
O segundo número central da linha número três é 2+1 = 3
Observação: Lembre-se que a contagem das linhas começa a partir do zero (primeira linha é a de número zero, segunda linha é a de número um …)

Esse processo vai repetindo-se até o triângulo estar completo, com os números sendo obtidos por essa simples regra de soma.
Sendo assim, chegamos no seguinte Triângulo de Pascal:

Porém, o que torna o Triângulo de Pascal tão fascinante?
Após séculos de estudo e exploração, o Triângulo de Pascal revelou uma série de padrões e propriedades incríveis que despertam o interesse de matemáticos até hoje. A seguir, destacarei três dessas propriedades e padrões que demonstram a riqueza e a complexidade dessa ferramenta matemática.
1- Simetria: O Triângulo de Pascal é simétrico em relação ao seu eixo vertical. Isso significa que os números à esquerda de cada linha são espelhados à direita.

2- Soma das linhas: A soma dos números em qualquer linha do Triângulo de Pascal é uma potência de 2. Por exemplo, a soma da linha número zero é um (dois elevado à zero) e a soma da linha número quatro é dezesseis (dois elevado à quatro).
3- Relação com as potências de 11: Quando elevamos o número 11 à potência “n” o resultado coincide com a junção dos números da linha “n” do Triângulo de Pascal. Por exemplo, 11 ao cubo é igual a 1331 e a linha número três do Triângulo de Pascal é composta pelos números 1;3;3;1 (juntando fica 1331).
E por que o Triângulo de Pascal tem esse nome?
Esse nome é uma homenagem ao matemático francês Blaise Pascal, que estudou e divulgou as propriedades dessa figura no século XVII. No entanto, a história desse triângulo remonta a muito antes dele, já que matemáticos árabes e chineses também já haviam estudado sobre isso.
Conclusão
Conforme o mostrado, podemos afirmar que o Triângulo de Pascal não é apenas uma série de números organizados em formato triangular, mas sim, uma ferramenta matemática repleta de padrões e propriedades magníficas.
Esse triângulo pode ser utilizado em diversos campos da atualidade, como probabilidade, cálculo de coeficientes binomiais e até mesmo análise combinatória, o que reforça sua relevância para a atualidade e a necessidade de ser explorado!
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
[1] http://www.cdme.im-uff.mat.br/pascal/pascal-html/pascal-br.html. Acesso em: 12 jan. 2025
[2] http://clubes.obmep.org.br/blog/sala-para-leitura-viajando-pelo-triangulo-de-pascal/. Acesso em: 12 jan. 2025
[3] http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/histo2b.html. Acesso em: 12 jan. 2025
[4] https://vestibulares.estrategia.com/portal/materias/matematica/triangulo-de-pascal/. Acesso em: 12 jan. 2025
[5] https://www.disfrutalasmatematicas.com/triangulo-pascal.html. Acesso em: 12 jan. 2025
[6] https://www.tutorbrasil.com.br/forum/viewtopic.php?t=32966. Acesso em: 12 jan. 2025
[7] https://br.neurochispas.com/algebra/aplicacoes-do-triangulo-de-pascal/. Acesso em: 12 jan. 2025
[8] https://matematicahistoria.wordpress.com/2017/09/29/triangulo-de-pascal/. Acesso em 12 jan. 2025
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