top of page

Explorando o Triângulo de Pascal: Propriedades, Padrões e Relevância na Matemática Moderna

Manuella Fabricio

O Triângulo de Pascal é uma das ferramentas matemáticas mais intrigantes que já foi estudada. À primeira vista, ele parece algo simples, mas basta olhar um pouco mais a fundo para perceber que ele guarda diversos padrões, propriedades e aplicações incríveis.


Mas afinal, que triângulo é esse?


O Triângulo de Pascal é um triângulo numérico infinito, no qual números naturais são organizados em linhas, formando um triângulo isósceles ou triângulo retângulo, conforme a figura a seguir:


Fgura 1 - Fonte: Viajando pelo Triângulo de Pascal (Clubes de Matemática da OBMEP/Artigo)
Fgura 1 - Fonte: Viajando pelo Triângulo de Pascal (Clubes de Matemática da OBMEP/Artigo)

Como é formado?


Para facilitar a explicação, vamos construir um Triângulo de Pascal com seis linhas como exemplo.


Primeiramente, colocamos o número 1 no topo do triângulo. Depois, também colocamos o número 1 no início e no final de cada linha. Ou seja, em cada linha, as extremidades (início e final) recebem o número 1, como ilustrado abaixo:


Figura 1 - Fonte: Viajando pelo Triângulo de Pascal (Clubes de Matemática da OBMEP/Artigo)
Figura 1 - Fonte: Viajando pelo Triângulo de Pascal (Clubes de Matemática da OBMEP/Artigo)

Os demais números que ficam no meio do triângulo (números centrais) são obtidos conforme a soma dos dois números diretamente acima deles, ou seja, o número à esquerda e o número à direita da linha anterior. 


  • O número central da linha número dois é 1+1 = 2

  • O primeiro número central da linha número três é 1+2 = 3

  • O segundo número central da linha número três é 2+1 = 3


Observação: Lembre-se que a contagem das linhas começa a partir do zero (primeira linha é a de número zero, segunda linha é a de número um …)


Figura 3 -Fonte: Viajando pelo Triângulo de Pascal (Clubes de Matemática da OBMEP/Artigo
Figura 3 -Fonte: Viajando pelo Triângulo de Pascal (Clubes de Matemática da OBMEP/Artigo

Esse processo vai repetindo-se até o triângulo estar completo, com os números sendo obtidos por essa simples regra de soma.


Sendo assim, chegamos no seguinte Triângulo de Pascal:



Figura 4 - Fonte: Viajando pelo Triângulo de Pascal (Clubes de Matemática da OBMEP/Artigo)
Figura 4 - Fonte: Viajando pelo Triângulo de Pascal (Clubes de Matemática da OBMEP/Artigo)

Porém, o que torna o Triângulo de Pascal tão fascinante?


Após séculos de estudo e exploração, o Triângulo de Pascal revelou uma série de padrões e propriedades incríveis que despertam o interesse de matemáticos até hoje. A seguir, destacarei três dessas propriedades e padrões que demonstram a riqueza e a complexidade dessa ferramenta matemática.


1- Simetria: O Triângulo de Pascal é simétrico em relação ao seu eixo vertical. Isso significa que os números à esquerda de cada linha são espelhados à direita.


Figura 5 - Fonte: Viajando pelo Triângulo de Pascal (Clubes de Matemática da OBMEP/Artigo)
Figura 5 - Fonte: Viajando pelo Triângulo de Pascal (Clubes de Matemática da OBMEP/Artigo)

2- Soma das linhas: A soma dos números em qualquer linha do Triângulo de Pascal é uma potência de 2. Por exemplo, a soma da linha número zero é um (dois elevado à zero) e a soma da linha número quatro é dezesseis (dois elevado à quatro).


3- Relação com as potências de 11: Quando elevamos o número 11 à potência “n” o resultado coincide com a junção dos números da linha “n” do Triângulo de Pascal. Por exemplo, 11 ao cubo é igual a 1331 e a linha número três do Triângulo de Pascal é composta pelos números 1;3;3;1 (juntando fica 1331).



E por que o Triângulo de Pascal tem esse nome?


Esse nome é uma homenagem ao matemático francês Blaise Pascal, que estudou e divulgou as propriedades dessa figura no século XVII. No entanto, a história desse triângulo remonta a muito antes dele, já que matemáticos árabes e chineses também já haviam estudado sobre isso.


Conclusão


Conforme o mostrado, podemos afirmar que o Triângulo de Pascal não é apenas uma série de números organizados em formato triangular, mas sim, uma ferramenta matemática repleta de padrões e propriedades magníficas.


Esse triângulo pode ser utilizado em diversos campos da atualidade, como probabilidade, cálculo de coeficientes binomiais e até mesmo análise combinatória, o que reforça sua relevância para a atualidade e a necessidade de ser explorado!



REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
















Comentarios


PARA PERMANECER ATUALIZADO, INSCREVA-SE!

© 2023 by Jovens Cientistas Brasil.

bottom of page