A história da Sequência mais famosa da matemática e como ela aparece na arte e na natureza.
Leonardo de Pisa “Fibonacci” foi um italiano nomeado como o primeiro grande matemático europeu da Idade Média. Em seu livro “Liber abaci” (Livro de cálculo, em português), publicado em 1202, o cientista discute os símbolos indo-árabicos de 1 a 9, explicando o básico do sistema, como a soma, a subtração, a multiplicação e a divisão com estes algarismos, fator que revolucionou a matemática da Idade Média. Nessa obra, também apresentou sua famosa série de números, nomeada posteriormente como “A sequência de Fibonacci”.
A sequência de Fibonacci: como funciona?
É coerente pensar, para melhor entendimento do tema, em um par de jovens coelhos no mês de janeiro. Para atingirem a idade reprodutiva, levarão um mês (no caso, no mês de fevereiro), logo, só terão filhos a partir do mês de março e em diante, todo mês. Seus filhos serão sempre um casal composto por um macho e por uma fêmea, esses que também vão dar origem a outro casal, sucessivamente. Considerando que nenhum coelho morra, é levantado o questionamento: “Ao final de um ano, quantos pares de coelhos existirão?”. Nota-se a alta improbabilidade biológica deste evento acontecer, sendo tratado apenas para fins matemáticos.
No mês de março, então, haverão dois pares de coelhos, um deles já adulto e outro ainda jovem. Em abril, o primeiro casal terá mais um par de coelhos e o outro terá concluído seu amadurecimento, totalizando três pares de coelhos. Assim, em maio, o primeiro casal volta a se reproduzir e o segundo tem proles pela primeira vez, mas o terceiro estará chegando à maturidade, portanto, cinco pares. Esse raciocínio seguirá o mesmo pelos próximos meses, logo, em junho, terão oito pares.
Esquema de reprodução dos coelhos (UNESP/ Artigo)
Assim, a progressão numérica da quantidade de pares de coelhos até o mês de dezembro é 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. Assim, ao final de um ano, o número de casais de coelhos será de 144.
Numericamente, a sequência é infinita, contudo, o que é necessário saber é que qualquer número dentro da progressão será o resultado da soma dos dois anteriores. Um exemplo explícito se dá no número 8 (mês de junho), que vem da soma de 3 e 5. Assim, em julho, o total de casais será dado por 5 + 8 = 13. Sob uma perspectiva algébrica, é dada a equação:
O número de ouro (φ) e a espiral áurea
Na época de Fibonacci, o raciocínio passou completamente despercebido; contudo, no século XIX, os profissionais começaram a estudá-la e ficaram fascinados por conta de sua repetição na natureza e a relação com a proporção áurea. A proporção áurea é um número irracional (representado pela letra grega Phi) cujo valor é:
A proporção de ouro pode ser encontrada em diversos padrões na natureza, entretanto, esse valor também é visto na famoso trabalho de Fibonacci: quanto maiores os valores de dois termos subsequentes, a razão entre eles será cada vez mais próxima de . Toma-se, por exemplo, os termos 4181 e 2584. A divisão entre ambos resulta em aproximadamente 1,6180340…, valor consideravelmente próximo à . Esta descoberta deu um significado de relevância ainda maior para o número de ouro, pois agora poderia ser relacionado com a geometria e as espirais áurea.
A famosa espiral áurea, aplicação mais famosa de , tem de ser explicada, geometricamente, antes de ser vista no mundo natural. O retângulo áureo é definido pela razão entre a medida de seus lados ser aproximadamente igual ao número de ouro. Pensa-se nos lados x e y, de maior e menor lado, respectivamente, é possível observar, que nem em termos sequenciais da progressão de Fibonacci, que:
Tem-se um quadrado de lado L = 1, de unidade de medida insignificante para o desenvolvimento. Com dois destes quadrados, postos um sobre o outro, obtém-se um retângulo de lados 1 e 2. No lado maior, constrói-se outro quadrado de lado 2. Percebe-se que, ao juntar dois quadrados de lado 1 junto com o de lado dois, é formado um retângulo de lado 3. Repetindo-se o processo, constrói-se um quadrado de lado 3, validando-se um retângulo de lados 3 e 5. Ao prosseguir com esse procedimento, determinam-se quadrados de lados 5, 8, 13, 21. A construção da espiral áurea é proveniente disso. Com o auxílio de um compasso, é possível traçar um quarto de circunferência nos quadrados de lados L = 1 até L = 21, concluindo, finalmente, a espiral áurea, como ilustrado abaixo.
A razão da beleza: a presença misteriosa na arte e natureza
A partir dos estudos sobre o tema, foi dada grande importância para o número de ouro e para a sequência de Fibonacci na área cultural, à medida que aparece repetidas vezes em famosos quadros e em inúmeras situações na natureza. Menciona-se um aspecto interessante acerca das pétalas das flores: o lírio tem 3 pétalas, a prímula tem 5, o delfínio, 8, a erva-de-são-tiago, 13, e a chicória, 21, e a margarida pode ter 13, 21 ou 34.
Somado a isso, há a ocorrência da proporção áurea nas espirais das sementes dos miolos das flores na imagem abaixo. Os girassóis apresentam 34 espirais no sentido horário e 21 no sentido anti-horário, ambos números de Fibonacci. Há, como dito anteriormente, uma quantidade infinita de exemplos em que é possível se observar a espiral de ouro na natureza: nas conchas, nas galáxias, no corpo de insetos, em peixes, nas ondas do mar e no corpo humano. Por ser um padrão facilmente reconhecível e agradável ao olho humano, a espiral é instintivamente associada ao belo.
Na arte, o formato pode ser identificado em pinturas e em obras mundialmente famosas. Em “A Última Ceia”, supõe-se que o pintor italiano Leonardo da Vinci tenha utilizado retângulos áureos para compor o quadro, estando presente na sala, na mesa e até na posição das personagens protagonistas. Botticelli, no quadro renascentista “O Nascimento da Vênus”, consegue enquadrar precisamente Afrodite na Regra de Ouro. Por fim, Salvador Dali em “O Sacramento da Última Ceia” utiliza um quadro de medidas 270x167cm, medidas que, ao serem divididas uma pela outra respectivamente, se aproximam do Número de Ouro. Outros, como Michelangelo e Rembrandt, também tiveram a regra de ouro identificada em seus trabalhos. Esta proporção foi de grande utilidade para produtores que buscavam o realismo e a proporcionalidade correta em suas obras.
Embora Fibonacci tenha sido o responsável pela popularização da progressão, outros matemáticos já a haviam citado. O indiano Pingala, em 200 a.C., comenta sobre ela em relação à métrica poética do sânscrito. Além disso, em 770 d.C., o poeta e matemático indiano Virahanka escreve sobre essa sequência. Por fim, no século XVII, o alemão Johannes Kepler percebe que a presença de na progressão.
Na era moderna, a proporção áurea segue aparecendo em diversos trabalhos, em especial na obra do matemático britânico Roger Penrose, na qual os ladrilhos de Fibonacci incomporam a estrutura de seu trabalho. Na vida cotidiana, os monitores de TV e computador, como a 16:9, também se aproximam de , tal como cartões de banco modernos, retângulos áureos praticamente perfeitos.
Referências
[1] SILVA, R. L .; DA SILVA ALMEIDA, R. L. A fantástica sequência de Fibonacci e o enigmático número de ouro: contexto histórico, definições, propriedades e aplicações. Revista Eletrônica Paulista, 2020.
[2] AKHTARUZZAMAN, M .; SHAFIE, A. A. Geometrical Substantiation of Phi, the Golden Ratio and the Baroque of Nature, Architecture, Design and Engineering. International Jounal of Arts, p. 1-22, 2011.
[3] WARSI, K. O livro da matemática. [s.I.] Editora Globo, 2020.
[4] O que é a sequência de Fibonacci e por que é chamada de 'codigo secreto da natureza'. BBC News Brasil, set. 2021. Disponivel em: <https://www.youtube.com/watch?v=cHZWZhHQq4g>
[5] NEVES, H. O que é Proporção Áurea e para que serve ?. Dicas sobre Marketing, Design, Gráfica e Negócios, dez. 2017.
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