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Como a geometria analítica pode ser aplicada para determinar coordenadas geográficas?

A geometria analítica é uma área da matemática que estuda elementos da geometria em um plano cartesiano. Esse, por sua vez, é um plano de coordenadas contendo duas retas perpendiculares, denominadas de eixos x e y. Nele, conseguimos representar elementos como pontos, retas, circunferências, entre outros.


Uma das aplicações que se assemelham à estrutura do plano cartesiano é o sistema de coordenadas geográficas, que indica a localização de um ponto sobre a superfície terrestre. Esse sistema é composto por duas linhas imaginárias, denominadas de paralelos e meridianos.


Os paralelos são linhas imaginárias traçadas paralelamente ao equador, que divide a Terra em dois hemisférios, o norte e o sul. A latitude, que indica a distância de um ponto ao equador, é medida em graus, a partir de zero, no equador, até 90, nos polos.


Os meridianos são linhas imaginárias traçadas verticalmente, de um polo ao outro. A longitude, que indica a distância de um ponto ao meridiano de Greenwich, é medida em graus, a partir de zero, no meridiano de Greenwich, até 180, para leste ou para oeste.


A conversão de coordenadas geográficas (latitude e longitude) para um sistema cartesiano pode ser realizada por meio de projeções cartográficas específicas. Uma das projeções mais comuns é a Projeção de Mercator. No entanto, essa projeção envolve cálculos trigonométricos e não pode ser representada por uma única função linear.


A fórmula de projeção de Mercator para coordenadas (φ, λ), onde φ é a latitude e λ é a longitude em radianos, é a seguinte:


Figura 1: Fórmula da projeção de Mercator


Por exemplo, o MASP (Museu de Arte de São Paulo), tem aproximadamente  de latitude e  de longitude. No entanto, para realizar a conversão para um sistema cartesiano, geralmente se utiliza uma projeção cartográfica adequada, como a Projeção de Mercator.


Figura 2: Localização do MASP


Dada a fórmula de projeção de Mercator, podemos calcular as coordenadas cartesianas para o MASP. Define-se R= 6371  km, que é o raio médio da Terra:



Calcula-se este valor:




Portanto, as coordenadas cartesianas aproximadas para o MASP usando a Projeção de Mercator seriam x=-297387.7866  e y=-2640514.815 em quilômetros. Lembre-se de que essas coordenadas são relativas a um sistema cartesiano específico e não têm unidade fixa como latitude e longitude.


Mas, como isso é aplicado no dia a dia?


A geometria analítica pode ser aplicada para determinar coordenadas geográficas em diversas situações. Alguns exemplos são:


  • Navegação: Os navegadores utilizam a geometria analítica para determinar a posição de seus navios ou aviões. Isso é feito por meio de cálculos que utilizam a latitude e a longitude dos pontos de partida e de chegada, bem como a distância entre esses pontos.

  • Cartografia: Os cartógrafos utilizam a geometria analítica para criar mapas e cartas. Isso é feito por meio de projeções cartográficas, que são representações da superfície da Terra em um plano.

  • Geolocalização: Os sistemas de geolocalização, como o GPS, utilizam a geometria analítica para determinar a posição de objetos em movimento. Isso é feito por meio de cálculos que utilizam a latitude, a longitude e a altitude dos objetos.


A geometria analítica é uma ferramenta poderosa que pode ser utilizada para determinar coordenadas geográficas. Essa aplicação é importante em diversas áreas, como navegação, cartografia e geolocalização.


Referências Bibliográficas:


MARCOS, Paulo. Sistema de coordenadas polares. Disponível em: http://www.paulomarques.com.br/arq6-12.htm. Acessado em: 24 de janeiro de 2024


ALVES, Sérgio. A geometria do Globo terrestre. IME/USP

Disponível em: www.ime.unicamp.brwww.ime.unicamp.br. Acessado em: 25 de janeiro de 2024


HEIM, Luciane. Geometria esférica: proposta de atividades em conexão com a Geografia. UFRPE disponível em: www.dm.ufrpe.br. Acessado em: 25 de janeiro de 2024 


MERCATOR, Gerardus. (1569). Atlas. Duisburg: Gerardus Mercator.



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