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A Física Nuclear e a Arqueologia: Observando Matematicamente a Datação por Carbono-14

O decaimento radioativo é o processo pelo qual um núcleo atômico instável perde energia ao se transformar em outro núcleo mais estável. Isso geralmente envolve a emissão de partículas subatômicas, como partículas alfa (que consistem em dois prótons e dois nêutrons, ou seja, um núcleo de hélio), partículas beta (elétrons ou pósitrons) ou radiação gama (fótons de alta energia). O tipo específico de partícula emitida e o núcleo resultante dependem do tipo de decaimento radioativo.


Existem três tipos principais de decaimento radioativo:


1. Decaimento alfa (α): Neste tipo de decaimento, o núcleo emite uma partícula alfa, que consiste em dois prótons e dois nêutrons. Isso reduz o número de massa atômica em 4 unidades e o número atômico em 2 unidades.


2. Decaimento beta (β): Neste tipo de decaimento, um nêutron é convertido em um próton ou vice-versa dentro do núcleo, acompanhado pela emissão de uma partícula beta (um elétron ou um pósitron). Isso não altera o número de massa atômica, mas aumenta ou diminui o número atômico em uma unidade.


3. Decaimento gama (γ): Após um decaimento alfa ou beta, o núcleo resultante pode estar em um estado excitado. Para retornar ao seu estado fundamental, o núcleo emite um fóton de alta energia, chamado radiação gama.


O decaimento radioativo é um processo aleatório e não pode ser influenciado por fatores externos, como temperatura, pressão ou composição química. Isso o torna útil em aplicações como medicina nuclear e geração de energia em usinas nucleares, bem como para determinar a idade de materiais (naquilo que é conhecido como datação por radioisótopos).


Neste momento, vamos detalhar como funciona o decaimento do radiocarbono-14:


Cada decaimento produz uma partícula ou um fóton de alta energia, assim podemos contar o número de decaimento por período de tempo, sendo esta velocidade chamada de atividade da amostra. 


Com base na equação da velocidade média (representada pela fórmula Vm= Δs/Δt), podemos determinar quantos metros são percorridos em uma segundo. Da mesma forma, podemos adaptar a equação para os processos de decaimento. Assim, podemos dizer que, dividindo o número de decaimentos pelo tempo que levou para eles ocorrerem. Esta equação resulta em um número, que é dado em bequerel (Bq) ou Curie (Ci), sendo esta unidade de medida correspondente a desintegração em 1 segundo de 1 grama de rádio-226.


Figura 1: Decaimento do Iodo-131 durante o período de 40 dias, em que N diminui exponencialmente, assim como sua atividade.


Com base no gráfico, podemos determinar a equação para sua curva: N = N0e-kt, sendo k a constante de decaimento nuclear (em ano-1), e N o número de núcleos.


Aplicando as propriedades logarítmicas encontramos:


1. Início da equação: A equação original é In N = In N0 - kt, onde N é a quantidade da substância no tempo t, N0 é a quantidade inicial da substância, k é a constante de taxa de decaimento e t é o tempo.


2. Propriedade do logaritmo da divisão: A primeira etapa do cálculo envolve a aplicação da propriedade do logaritmo da divisão, que diz que o logaritmo de uma divisão é igual à diferença entre os logaritmos dos números divididos. Aplicando essa propriedade, podemos reescrever In (N0/N) como In (N) - In (N0).


3. Reescrevendo a equação: Portanto, a equação original pode ser reescrita como: In (N) - In (N0) = - kt.


4. Isolando In (N): O próximo passo é isolar In (N) na equação. Para isso, adicionamos In (N0) em ambos os lados da equação: In (N) = In (N0) - kt.


5. Isolando N: Finalmente, para obter N em termos de N0, k e t, aplicamos a função exponencial em ambos os lados da equação: N = N0 e-kt.


Esta é a forma final da equação, que descreve a quantidade N da substância no tempo t em relação à quantidade inicial N0, à constante de taxa de decaimento k e ao tempo t.


Podemos também calcular o tempo de meia-vida utilizando esta equação:


  1. A equação original é In N0/1/2N0 = In (2N0/N0) = In (2) = kt1/2 onde N0​ é a quantidade inicial da substância e t1/2​ é o tempo necessário para a quantidade da substância diminuir pela metade.

  2. Propriedade do logaritmo da divisão: A primeira etapa do cálculo envolve a aplicação da propriedade do logaritmo da divisão, que diz que o logaritmo de uma divisão é igual à diferença entre os logaritmos dos números divididos. Aplicando essa propriedade, podemos reescrever In N0/1/2N0 como In (N0) – In (1/2 N0).

  3. Simplificação de In (1/2 N0): Como In (1/2 N0) é o logaritmo natural de In (1/2 N0, podemos simplificar isso para (In 1/2) + In (N0).

  4. Reescrevendo a equação: Portanto, a equação original pode ser reescrita como: In (N0) – (In (1/2) + In (N0)) = In (2).

  5. Simplificação algébrica: Podemos simplificar em: In (N0/1/2N0) = In (2).

  6. Isolando k e t1/2: Agora, podemos igualar as equações para encontrar a relação entre k e t1/2: kt1/2 = In(2).

  7. Isolando t1/2: Dividindo ambos os lados da equação por k: t1/2 = In 2/k, que também pode ser t1/2 = 0,693/k. 


A datação por radiocarbono é um método usado para determinar a idade de materiais orgânicos com base na quantidade de carbono-14 (C-14) que eles contêm. O carbono-14 é um isótopo radioativo do carbono que é formado na atmosfera da Terra pela interação de raios cósmicos com o nitrogênio. Este carbono-14 é absorvido pelos organismos vivos durante a fotossíntese e, portanto, está presente em todos os organismos vivos em uma quantidade constante.


Quando um organismo morre, a absorção de carbono-14 para e a quantidade presente no organismo começa a diminuir à medida que o carbono-14 radioativo decai em nitrogênio-14 estável por meio de um processo conhecido como decaimento radioativo. A meia-vida do carbono-14 é de aproximadamente 5.730 anos, o que significa que após esse período, metade do carbono-14 original terá decaído. Com base nestas informações e na equação acima, podemos calcular de forma simples a idade de diversos artefatos.


Dessa forma, a datação por radiocarbono é um método valioso para determinar a idade de materiais orgânicos que datam de até cerca de 50.000 anos atrás. É amplamente utilizado em arqueologia, geologia, paleontologia e outras áreas para datar amostras de materiais orgânicos, como ossos, tecidos, madeira, carvão, tecidos e artefatos arqueológicos.


Referências Bibliográficas


ALFA, beta e gama. Ifi Unicamp. Disponível em: <https://www.ifi.unicamp.br/~fauth/3RadioatividadeeParticulas/1AlfaBetaGama/Alfabetaegama.html>. Acesso em: 27 jan. 2024.


BROWN, L. HOLME, T. Química Geral 1: Aplicada à Engenharia. 3X Edição.São Paulo: Cengage Learning, 2014.


CARDOSO, ELIEZER DE MOURA et al. Radioatividade. Comissão Nacional de Energia Nuclear-CNEN, 2000.



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